Liczby całkowite
Liczby całkowite – zbiór obejmujący:
- liczby naturalne z zerem ;
- liczby przeciwne do nich: [1].
Jest to uogólnienie liczb naturalnych umożliwiające odjęcie każdej liczby od innej.
Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem [1], od niemieckiego Zahl – liczba[potrzebny przypis]. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia[2], choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol – inicjał nazwy polskiej[potrzebny przypis].
Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności
Intuicyjnie reprezentuje różnicę
Niech oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako:
Liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.
Własności
[edytuj | edytuj kod]Algebraiczne
[edytuj | edytuj kod]Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera[potrzebny przypis].
Zerem tego pierścienia jest elementem przeciwnym do jest element Jedynką jest
Podzbiór elementów postaci jest izomorficzny z
Ponieważ oraz elementem przeciwnym do więc
Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.
Liczność
[edytuj | edytuj kod]Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b Liczby całkowite, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
- ↑ Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 r. w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia. Dz.U. 2018, poz. 467. s. 293. [dostęp 2020-10-07].
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Integer, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
- Integer (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].