Liczby całkowite

Oś liczbowa ukazująca niektóre liczby całkowite

Standardowy symbol zbioru liczb całkowitych

Liczby całkowite – zbiór obejmujący:

• liczby naturalne z zerem $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}$;
• liczby przeciwne do nich: $\{0,-1,-2,-3,\dots \}$.

Jest to uogólnienie liczb naturalnych umożliwiające odjęcie każdej liczby od innej.

Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem $\mathbb {Z}$, od niemieckiego Zahl – liczba. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia, choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol $\mathbf {C}$ – inicjał nazwy polskiej.

Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Definicja formalna

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru $\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}$ relacji równoważności

$(a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c.$

Intuicyjnie $(a,b)$ reprezentuje różnicę $a-b.$

Niech $[(a,b)]$ oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest $(a,b).$ Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze $\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}/\sim$ definiuje się jako:

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],$

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].$

Liczby $[(a,b)],$ dla których $a>b$ nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby $[(a,b)],$ dla których $a<b$ nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Własności

Algebraiczne

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera.

Zerem tego pierścienia jest $[(0,0)],$ elementem przeciwnym do $[(a,b)]$ jest element $[(b,a)].$ Jedynką jest $[(1,0)].$

Podzbiór elementów postaci $[(a,0)]$ jest izomorficzny z $\mathbb {N} _{0}.$

Ponieważ $[(a,b)]=[(a,0)]+[(0,b)]$ oraz $[(0,b)]$ elementem przeciwnym do $[(b,0)],$ więc

$[(a,b)]=[(a,0)]-[(b,0)].$

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczność

Zbiór liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych $\mathbb {N} ,$ gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

$f(x)={\begin{cases}2x,&{\text{gdy }}x>0\\-2x+1,&{\text{gdy }}x\leqslant 0\end{cases}}.$

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczby całkowite (zapis komputerowy)
• równanie diofantyczne

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Integer, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Integer (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].